सांख्यिकीय विधियाँ (Statistical Methods) – Notes, Formulas, Solved Examples | B.Sc. Ag. Hindi & English (PDF,BOOK,PPT)

एक खेत, आठ प्लॉट: मान लीजिए आपने गेहूँ की एक किस्म आठ प्लॉट में बोई और उपज (क्विंटल प्रति हेक्टेयर) आई: 38, 42, 45, 40, 47, 44, 41, 43। अब सवाल उठते हैं: औसत उपज क्या है? प्लॉट-दर-प्लॉट उतार-चढ़ाव कितना है? क्या यह किस्म 40 क्विंटल वाली मानक किस्म से सचमुच बेहतर है, या यह संयोग है? यही सवाल सांख्यिकी हल करती है। इस लेख में हम इसी खेत के आँकड़ों से पूरे सिलेबस को चलाएँगे।

सांख्यिकीय विधियाँ (Statistical Methods) B.Sc. (Hons.) Agriculture का वह विषय है जो अनुसंधान, सर्वेक्षण और खेत के प्रयोगों के आँकड़ों को समझने की नींव रखता है। सिलेबस में 13 टॉपिक हैं और कुल 16 थ्योरी लेक्चर (टॉपिक 1 से 10 में 1-1 और टॉपिक 11 से 13 में 2-2)। कोर्स कोड और क्रेडिट सिलेबस चित्र में नहीं दिखे, इसलिए यहाँ नहीं लिखे। लेख का क्रम है: आँकड़ों का सार → संभावना → संबंध → परीक्षण → प्रतिचयन।

13 टॉपिक16 लेक्चर6 हल सहित उदाहरण6 MCQ6 FAQ

चरण 1: आँकड़ों का सार (टॉपिक 1 और 2)

कृषि में सांख्यिकी का परिचय (टॉपिक 1)

सांख्यिकी आँकड़ों को इकट्ठा करने, व्यवस्थित करने, प्रस्तुत करने, विश्लेषण करने और निष्कर्ष निकालने का विज्ञान है। कृषि में इसके उपयोग: खेत प्रयोगों के परिणामों की जाँच, किस्मों की तुलना, फसल उत्पादन का अनुमान, सर्वेक्षण और बाजार भाव का अध्ययन, कीट-रोग की निगरानी और गुणवत्ता नियंत्रण। सांख्यिकी का महत्व इसलिए है कि खेती में हर प्लॉट अलग व्यवहार करता है, यानी परिवर्तनशीलता (Variability) हमेशा रहती है।

आँकड़ों का ग्राफ़ीय निरूपण (टॉपिक 2)

आलेख	कब उपयोग करें
दंड आलेख (Bar diagram)	अलग-अलग श्रेणियों की तुलना, जैसे अलग फसलों का क्षेत्रफल
वृत्त आलेख (Pie chart)	किसी कुल के हिस्से, जैसे जिले की फसल-संरचना
आयत चित्र (Histogram)	सतत आँकड़ों का बारंबारता वितरण, जैसे पौधों की ऊँचाई
बारंबारता बहुभुज (Frequency polygon)	वितरण का आकार और दो वितरणों की तुलना
तोरण (Ogive)	संचयी बारंबारता से माध्यिका और चतुर्थक पढ़ना
रेखा आलेख	समय के साथ बदलाव, जैसे वर्षवार उपज

केंद्रीय प्रवृत्ति की माप (टॉपिक 2)

• समांतर माध्य (Mean): कुल योग ÷ संख्या। सबसे अधिक प्रचलित, पर चरम मान से प्रभावित।
• माध्यिका (Median): क्रम में रखने पर बीच का मान; चरम मान का असर कम।
• बहुलक (Mode): सबसे अधिक बार आने वाला मान।
• गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य: वृद्धि दरों और अनुपातों के लिए। अनुभवजन्य संबंध: माध्य − बहुलक ≈ 3 (माध्य − माध्यिका)।

विचलन की माप (टॉपिक 2)

परास (Range), चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन, प्रसरण (Variance), मानक विचलन (SD) और विचरण गुणांक (CV)। CV से दो अलग इकाइयों या माध्यों वाले आँकड़ों की परिवर्तनशीलता की तुलना होती है।

हल सहित उदाहरण 1: हमारे खेत के आँकड़ों का सार
योग = 340, n = 8 → माध्य = 340 ÷ 8 = 42.5 क्विंटल/हे.
क्रम में: 38, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47 → बीच के दो मान 42 और 43 → माध्यिका = 42.5
परास = 47 − 38 = 9
माध्य से विचलनों के वर्गों का योग (SS) = 20.25 + 0.25 + 6.25 + 6.25 + 20.25 + 2.25 + 2.25 + 0.25 = 58
नमूना प्रसरण s² = SS ÷ (n − 1) = 58 ÷ 7 = 8.29
नमूना मानक विचलन s = √8.29 ≈ 2.88
CV = (2.88 ÷ 42.5) × 100 ≈ 6.8%

निष्कर्ष: औसत उपज 42.5 है और प्लॉटों के बीच उतार-चढ़ाव लगभग 6.8%, यानी काफी कम है। नमूने से अनुमान लगाते समय हर n − 1 से भाग देते हैं।

चरण 2: संभावना और वितरण (टॉपिक 3, 4, 5)

संभावना की परिभाषा और प्रमेय (टॉपिक 3, बिना सिद्धि)

P(A) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल समसंभाव्य परिणाम (0 ≤ P ≤ 1)
योग प्रमेय: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
परस्पर अपवर्जी घटनाओं में: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
गुणन प्रमेय: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A); स्वतंत्र घटनाओं में P(A) × P(B)

सरल संभावना की समस्याएँ (टॉपिक 4)

हल सहित उदाहरण 2:
(क) पासा फेंकने पर "सम अंक" या "4 से बड़ा अंक" आने की प्रायिकता: सम = {2, 4, 6}, 4 से बड़ा = {5, 6}, उभयनिष्ठ = {6}।
P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3।
(ख) किसी बीज के अंकुरण की प्रायिकता 0.8 है। दो स्वतंत्र बीज दोनों उगें: 0.8 × 0.8 = 0.64।

द्विपद और प्वासों बंटन (टॉपिक 5)

	द्विपद (Binomial)	प्वासों (Poisson)
शर्तें	निश्चित n परीक्षण, हर में केवल दो परिणाम (सफल/असफल), सफलता की प्रायिकता p स्थिर, परीक्षण स्वतंत्र	दुर्लभ घटनाएँ, किसी इकाई (समय या क्षेत्र) में औसत λ
सूत्र	P(X = r) = ⁿCr pr qn−r	P(X = r) = e−λ λr ÷ r!
माध्य, प्रसरण	माध्य = np, प्रसरण = npq	माध्य = प्रसरण = λ
कृषि उदाहरण	बोए गए बीजों में अंकुरित बीज	प्रति पौधा कीटों की संख्या

हल सहित उदाहरण 3:
द्विपद: 5 बीज बोए, p = 0.8, q = 0.2। ठीक 4 उगने की प्रायिकता = ⁵C₄ × 0.8⁴ × 0.2 = 5 × 0.4096 × 0.2 = 0.4096। सभी 5 उगें = 0.8⁵ = 0.328।
प्वासों: प्रति पौधा औसतन λ = 2 कीट। शून्य कीट की प्रायिकता = e⁻² = 0.135; ठीक 1 कीट = 2e⁻² = 0.271; ठीक 2 कीट = (4/2)e⁻² = 0.271।

चरण 3: संबंध की खोज (टॉपिक 6 और 7)

सहसंबंध की परिभाषा और प्रकीर्ण आरेख (टॉपिक 6)

सहसंबंध (Correlation) दो चरों के साथ-साथ बदलने की दिशा और मात्रा बताता है। प्रकीर्ण आरेख (Scatter diagram) में x और y के बिंदुओं को आलेख पर रखा जाता है। बिंदु ऊपर की ओर बढ़ें तो धनात्मक, नीचे की ओर बढ़ें तो ऋणात्मक और बिखरे हों तो नगण्य सहसंबंध माना जाता है।

कार्ल पियर्सन गुणांक और समाश्रयण रेखा (टॉपिक 7)

r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² × Σ(y − ȳ)²] (−1 ≤ r ≤ +1)
y पर x का समाश्रयण: y = a + bx, b = Sxy ÷ Sxx, a = ȳ − b x̄
r² = b_yx × b_xy

हल सहित उदाहरण 4: नाइट्रोजन और उपज (काल्पनिक आँकड़े)
x = नाइट्रोजन (kg/हे.): 20, 40, 60, 80, 100 → x̄ = 60
y = उपज (क्विंटल/हे.): 30, 35, 41, 44, 50 → ȳ = 40
Sxy = (−40×−10) + (−20×−5) + 0 + (20×4) + (40×10) = 980
Sxx = 1600 + 400 + 0 + 400 + 1600 = 4000; Syy = 100 + 25 + 1 + 16 + 100 = 242
r = 980 ÷ √(4000 × 242) = 980 ÷ 983.9 ≈ 0.996 (बहुत प्रबल धनात्मक संबंध)
b = 980 ÷ 4000 = 0.245; a = 40 − 0.245 × 60 = 25.3
समाश्रयण रेखा: y = 25.3 + 0.245x। यानी प्रति 1 kg नाइट्रोजन पर उपज औसतन 0.245 क्विंटल बढ़ती है। x = 70 पर अनुमानित उपज = 25.3 + 17.15 = 42.45 क्विंटल।

सावधानी: सहसंबंध का अर्थ कार्य-कारण नहीं है। और आँकड़ों की सीमा (20 से 100 kg) के बाहर भविष्यवाणी भरोसेमंद नहीं होती, क्योंकि अधिक नाइट्रोजन पर उपज घट भी सकती है।

चरण 4: क्या अंतर सचमुच है? सार्थकता परीक्षण (टॉपिक 8, 9, 10)

सार्थकता परीक्षण का परिचय (टॉपिक 8)

• शून्य परिकल्पना (H₀): "कोई अंतर नहीं है"। वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): "अंतर है"।
• सार्थकता स्तर: आम तौर पर 5% या 1%। यह H₀ के सही होते हुए भी उसे अस्वीकार करने का जोखिम है (प्रथम प्रकार की त्रुटि, Type I)। H₀ गलत होते हुए भी उसे स्वीकार करना द्वितीय प्रकार की त्रुटि (Type II) है।
• परिकलित मान, सारणी के क्रांतिक मान से अधिक हो तो H₀ अस्वीकार करते हैं; स्वतंत्रता कोटि (df) और एक-पुच्छीय या द्वि-पुच्छीय परीक्षण का चुनाव ध्यान से करें।

माध्य के लिए t-परीक्षण: एक नमूना और दो नमूने (टॉपिक 9)

एक नमूना: t = (x̄ − μ₀) ÷ (s ÷ √n), df = n − 1
दो नमूने (समान प्रसरण): t = (x̄₁ − x̄₂) ÷ √[s²(1/n₁ + 1/n₂)], s² = (SS₁ + SS₂) ÷ (n₁ + n₂ − 2)

हल सहित उदाहरण 5(क): एक नमूना t-परीक्षण (हमारा खेत)
H₀: μ = 40 (मानक किस्म की उपज)। x̄ = 42.5, s = 2.88, n = 8।
s ÷ √n = 2.88 ÷ 2.83 = 1.018; t = 2.5 ÷ 1.018 ≈ 2.46, df = 7।
5% पर द्वि-पुच्छीय क्रांतिक मान = 2.365 और 1% पर = 3.499।

निष्कर्ष: 2.46 > 2.365, इसलिए H₀ 5% स्तर पर अस्वीकृत। नई किस्म की उपज मानक 40 से 5% स्तर पर सार्थक रूप से अधिक है, पर 1% स्तर पर नहीं।

हल सहित उदाहरण 5(ख): दो नमूने (काल्पनिक आँकड़े)
किस्म A (n = 5): 40, 42, 44, 46, 48 → x̄₁ = 44, SS₁ = 40
किस्म B (n = 5): 36, 38, 40, 42, 44 → x̄₂ = 40, SS₂ = 40
s² = (40 + 40) ÷ 8 = 10; SE = √[10 × (1/5 + 1/5)] = √4 = 2
t = (44 − 40) ÷ 2 = 2.0, df = 8; 5% पर क्रांतिक मान = 2.306।

निष्कर्ष: 2.0 < 2.306, इसलिए अंतर सार्थक नहीं। 4 क्विंटल का अंतर दिखता तो है, पर इतने कम प्लॉट और इतने उतार-चढ़ाव में इसे संयोग से अलग नहीं कहा जा सकता।

2×2 सारणी में गुणों की स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण (टॉपिक 10)

जब आँकड़े संख्याओं की गिनती (जैसे रोगी/स्वस्थ) हों, तब दो गुणों के आपस में स्वतंत्र होने की जाँच काई-वर्ग से होती है। 2×2 सारणी में df = (2−1)(2−1) = 1।

χ² = Σ (O − E)² ÷ E, E = (पंक्ति योग × स्तंभ योग) ÷ कुल
शॉर्टकट (a b / c d): χ² = N(ad − bc)² ÷ [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

हल सहित उदाहरण 6: बीज उपचार और रोग (काल्पनिक आँकड़े)

	रोगग्रस्त	स्वस्थ	योग
उपचारित	10	90	100
अनुपचारित	30	70	100
योग	40	160	200

अपेक्षित मान (H₀: उपचार और रोग स्वतंत्र): रोगग्रस्त 40 × 100 ÷ 200 = 20 (दोनों पंक्तियाँ), स्वस्थ 80।
χ² = (10−20)²/20 + (90−80)²/80 + (30−20)²/20 + (70−80)²/80 = 5 + 1.25 + 5 + 1.25 = 12.5
शॉर्टकट से जाँच: 200 × (10×70 − 90×30)² ÷ (100×100×40×160) = 200 × 4,000,000 ÷ 64,000,000 = 12.5 ✓
df = 1 पर क्रांतिक मान: 5% पर 3.84 और 1% पर 6.63।

निष्कर्ष: 12.5 > 6.63, इसलिए H₀ 1% स्तर पर अस्वीकृत। बीज उपचार और रोग की घटना में संबंध है, यानी उपचार रोग घटाता है। (यदि किसी कोष्ठक का अपेक्षित मान 5 से कम हो तो येट्स का सुधार लगाया जाता है।)

स्थिति	कौन सा परीक्षण
एक नमूने का माध्य, ज्ञात मानक से तुलना	एक नमूना t
दो समूहों के माध्यों की तुलना	दो नमूना t
गिनती के आँकड़ों में दो गुणों का संबंध	काई-वर्ग

चरण 5: प्रतिचयन (टॉपिक 11, 12, 13, कुल 6 लेक्चर)

प्रतिचयन की विधियाँ का परिचय (टॉपिक 11)

जनसंख्या (Population) पूरा समूह है और प्रतिदर्श (Sample) उसका चुना हुआ भाग। अच्छे प्रतिदर्श को जनसंख्या का प्रतिनिधि होना चाहिए।

विधि	तरीका	कब उपयोगी
सरल यादृच्छिक (SRS)	हर इकाई को चुने जाने का समान अवसर	जनसंख्या एकरूप हो
स्तरित (Stratified)	जनसंख्या को समरूप वर्गों में बाँटकर हर वर्ग से SRS	जनसंख्या में स्पष्ट वर्ग हों, जैसे छोटे, मध्यम, बड़े किसान
क्रमबद्ध (Systematic)	हर k-वीं इकाई चुनना	सूची उपलब्ध हो, फील्ड में सुविधा
गुच्छ (Cluster)	पूरे समूह (गाँव) चुनना	इकाइयाँ बिखरी हों, लागत घटानी हो

प्रतिचयन बनाम पूर्ण गणना (टॉपिक 12)

बिंदु	पूर्ण गणना (Census)	प्रतिचयन (Sampling)
लागत और समय	अधिक	कम
सटीकता	सैद्धांतिक रूप से पूर्ण, पर बड़ी जनसंख्या में गैर-प्रतिचयन त्रुटियाँ बढ़ती हैं	प्रतिचयन त्रुटि रहती है, पर सावधानी से घटाई जा सकती है
उपयुक्तता	छोटी जनसंख्या	बड़ी जनसंख्या, या जहाँ जाँच से इकाई नष्ट हो जाए (जैसे फल की गुणवत्ता जाँच)

यादृच्छिक संख्या सारणी से सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श (टॉपिक 13)

1. जनसंख्या की हर इकाई को क्रम संख्या दें (1 से N)।
2. N के अंकों के बराबर अंकों वाली यादृच्छिक संख्याएँ सारणी में किसी भी जगह से, एक निश्चित दिशा में पढ़ें।
3. जो संख्या N से बड़ी हो या दोहराई जाए, उसे छोड़ दें। जब तक n इकाइयाँ न मिलें, पढ़ना जारी रखें।

हल सहित उदाहरण 7: 80 प्लॉट में से 5 चुनने हैं (दो अंकों की संख्याएँ, इसलिए 01 से 80)। मान लें सारणी से पढ़ी गई संख्याएँ (उदाहरण के लिए) हैं: 47, 15, 93, 62, 08, 71, 15, 34।
47 → चुना; 15 → चुना; 93 → 80 से बड़ा, छोड़ा; 62 → चुना; 08 → चुना; 71 → चुना। अब 5 प्लॉट पूरे हुए: 47, 15, 62, 08, 71। (अगला 15 दोहराव होता, उसे छोड़ना पड़ता।)

सोचिए और हल कीजिए

प्रश्न 1: 10, 12, 14, 16, 18 का माध्य और नमूना मानक विचलन? उत्तर: माध्य 14; SS = 40; s² = 40 ÷ 4 = 10; s = 3.16

प्रश्न 2: एक सिक्का 4 बार उछालने पर ठीक 2 चित आने की प्रायिकता? उत्तर: ⁴C₂ (1/2)⁴ = 6/16 = 0.375

प्रश्न 3: प्रति वर्ग मीटर औसतन 1 खरपतवार (प्वासों)। शून्य खरपतवार की प्रायिकता? उत्तर: e⁻¹ ≈ 0.368

प्रश्न 4: 2×2 सारणी में χ² = 2.1 आया, df = 1 और 5% क्रांतिक मान 3.84 है। निष्कर्ष? उत्तर: 2.1 < 3.84, इसलिए H₀ स्वीकार, कोई सार्थक संबंध नहीं।

जल्दी दोहराने के बिंदु (Quick Revision)

• नमूने का प्रसरण n − 1 से निकलता है; CV = (SD ÷ माध्य) × 100।
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)।
• द्विपद: माध्य np, प्रसरण npq। प्वासों: माध्य = प्रसरण = λ।
• −1 ≤ r ≤ +1; r² = b_yx × b_xy।
• एक नमूना t में df = n − 1; दो नमूना t में df = n₁ + n₂ − 2।
• 2×2 काई-वर्ग में df = 1; 5% क्रांतिक मान 3.84।
• परिकलित मान > क्रांतिक मान, तो H₀ अस्वीकृत।

महत्वपूर्ण प्रश्न (MCQ)

Q1. चरम मानों से सबसे कम प्रभावित होने वाली केंद्रीय प्रवृत्ति की माप कौन सी है? (अ) माध्य (ब) माध्यिका (स) परास (द) प्रसरण। उत्तर: ब

Q2. प्वासों बंटन में माध्य और प्रसरण का संबंध क्या है? (अ) माध्य > प्रसरण (ब) माध्य < प्रसरण (स) दोनों बराबर (द) कोई संबंध नहीं। उत्तर: स

Q3. सहसंबंध गुणांक r का मान किस सीमा में होता है? (अ) 0 से 1 (ब) −1 से +1 (स) −∞ से +∞ (द) 0 से 100। उत्तर: ब

Q4. दो माध्यों की तुलना के t-परीक्षण (n₁ = n₂ = 5) में स्वतंत्रता कोटि कितनी है? (अ) 10 (ब) 9 (स) 8 (द) 4। उत्तर: स

Q5. 2×2 सारणी में काई-वर्ग परीक्षण की स्वतंत्रता कोटि कितनी होती है? (अ) 1 (ब) 2 (स) 3 (द) 4। उत्तर: अ

Q6. जब H₀ सही हो और फिर भी उसे अस्वीकार कर दिया जाए, तो यह कौन सी त्रुटि है? (अ) द्वितीय प्रकार की (ब) प्रथम प्रकार की (स) प्रतिचयन त्रुटि नहीं (द) माप की त्रुटि। उत्तर: ब

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

प्रश्न: इस विषय में कितने टॉपिक और लेक्चर हैं?
उत्तर: सिलेबस के अनुसार 13 टॉपिक और कुल 16 थ्योरी लेक्चर।

प्रश्न: माध्य, माध्यिका और बहुलक में कब कौन सा लें?
उत्तर: सममित आँकड़ों में माध्य; चरम मान हों तो माध्यिका; श्रेणीगत आँकड़ों में बहुलक।

प्रश्न: मानक विचलन में n की जगह n − 1 क्यों?
उत्तर: नमूने से जनसंख्या का प्रसरण निकालते समय n से भाग देने पर वह कुछ कम आँका जाता है, इसलिए n − 1 का उपयोग होता है।

प्रश्न: सहसंबंध और समाश्रयण में क्या फर्क है?
उत्तर: सहसंबंध संबंध की दिशा और मजबूती बताता है, जबकि समाश्रयण एक चर से दूसरे का अनुमान लगाने की रेखा देता है।

प्रश्न: p-मान और सार्थकता स्तर में क्या संबंध है?
उत्तर: p-मान सार्थकता स्तर (जैसे 0.05) से कम हो तो H₀ अस्वीकार किया जाता है।

प्रश्न: परीक्षा की तैयारी कैसे करें?
उत्तर: सूत्र याद करने के साथ हर परीक्षण का एक पूरा हल सहित उदाहरण खुद हल करें। इसी विषय में अंक अभ्यास से आते हैं।

Free Study Material Download करें

Statistical Methods के नोट्स, किताबें, PPT और Word फाइल नीचे से डाउनलोड करें।

सामग्री	Download
हिंदी PDF नोट्स	Hindi PDF 1Hindi PDF 2Hindi PDF 3
English PDF Notes	English PDF 1English PDF 2English PDF 3
Books (किताबें)	Book 1Book 2Book 3
PPT	PPT Download
Word File	Word Download

आगे पढ़ने के लिए

पंसे और सुखात्मे, Statistical Methods for Agricultural Workers (ICAR); Gomez और Gomez, Statistical Procedures for Agricultural Research; एस. पी. गुप्ता, Statistical Methods; और ICAR e-course।

लेखक की टिप्पणी: यह लेख सिलेबस के आधार पर मौलिक रूप से तैयार किया गया है। सभी आँकड़े और उदाहरण अभ्यास हेतु काल्पनिक हैं। t और काई-वर्ग के क्रांतिक मान मानक सारणियों से हैं; परीक्षा में अपनी पाठ्यपुस्तक की सारणी से मिला लें।