प्रारंभिक गणित (Elementary Mathematics) B.Sc. (Hons.) Agriculture का आधार विषय है, जो आगे सांख्यिकी, कृषि अर्थशास्त्र, मृदा भौतिकी और फसल मॉडलिंग में काम आता है। सिलेबस चित्र में 20 टॉपिक दिख रहे हैं और उनके 32 थ्योरी लेक्चर बनते हैं। (चित्र में तालिका टॉपिक 20 पर कटी है। यदि इसके आगे भी टॉपिक हैं तो वे बाद में जोड़े जा सकते हैं।) कोर्स कोड और क्रेडिट चित्र में नहीं दिखे, इसलिए यहाँ नहीं लिखे।
भाग 1: फलन, सीमा और सांतत्य (टॉपिक 1 से 4, कुल 7 लेक्चर)
फलन और उनके संक्रियाएँ (टॉपिक 1)
फलन (Function) वह नियम है जो हर निविष्ट x के लिए एक ही निर्गत y = f(x) देता है। x के संभावित मानों का समुच्चय प्रांत (Domain) और y के मानों का समुच्चय परिसर (Range) कहलाता है। फलनों पर संक्रियाएँ: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f·g)(x) = f(x)·g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x) (जहाँ g(x) ≠ 0) और संयुक्त फलन (f∘g)(x) = f(g(x))।
यदि f(x) = x + 2 और g(x) = x², तो (f∘g)(x) = g(x) + 2 = x² + 2, जबकि (g∘f)(x) = (x + 2)² = x² + 4x + 4। यानी f∘g ≠ g∘f।
सीमा (Limit) (टॉपिक 2 और 3)
limx→a f(x) = L का अर्थ है कि x जब a के बहुत नजदीक पहुँचे (पर a के बराबर नहीं), तो f(x) का मान L के नजदीक पहुँचता है।
(1) limx→a (xⁿ − aⁿ) ÷ (x − a) = n·aⁿ⁻¹
(2) limx→0 (sin x) ÷ x = 1 (x रेडियन में)
(3) limn→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.718
(क) limx→2 (x³ − 8) ÷ (x − 2) = 3 × 2² = 12।
(ख) limx→0 (sin 3x) ÷ x = 3 × lim (sin 3x ÷ 3x) = 3 × 1 = 3।
(ग) limx→0 (sin 5x) ÷ (sin 2x) = (5x ÷ 2x) × 1 × 1 = 5/2।
(घ) limn→∞ (1 + 1/n)²ⁿ = [(1 + 1/n)ⁿ]² = e²।
(ङ) limx→1 (x² − 1) ÷ (x − 1) = lim (x + 1) = 2 (अंश-हर में गुणनखंड काटकर)।
सांतत्य और उसकी समस्याएँ (टॉपिक 4)
फलन f(x) बिंदु x = a पर सतत (Continuous) है, यदि तीनों बराबर हों: बाईं सीमा (LHL) = दाईं सीमा (RHL) = f(a)।
(क) f(x) = (x² − 4) ÷ (x − 2) जब x ≠ 2, और f(2) = k। सांतत्य के लिए k क्या हो? limx→2 (x + 2) = 4, इसलिए k = 4।
(ख) f(x) = kx + 1 (x ≤ 5) और f(x) = 3x − 5 (x > 5)। x = 5 पर सतत हो तो: LHL = 5k + 1 और RHL = 15 − 5 = 10। 5k + 1 = 10 → k = 9/5।
भाग 2: अवकलन (टॉपिक 5 से 11, कुल 11 लेक्चर)
प्रथम सिद्धांत से अवकलन (टॉपिक 5)
- xⁿ: [(x + h)ⁿ − xⁿ] ÷ h का सीमांत मान n·xⁿ⁻¹ (ऊपर की मानक सीमा (1) से)।
- eˣ: eˣ·(eʰ − 1)/h, और lim (eʰ − 1)/h = 1, इसलिए अवकलज eˣ।
- sin x: sin(x + h) − sin x = 2cos(x + h/2)·sin(h/2), और lim sin(h/2)/(h/2) = 1, इसलिए अवकलज cos x।
- cos x: इसी तरह अवकलज −sin x।
योग, गुणनफल, भागफल और फलनों के फलन (टॉपिक 6, 7, 8)
गुणनफल: (u·v)′ = u′v + uv′
भागफल: (u ÷ v)′ = (u′v − uv′) ÷ v²
श्रृंखला नियम (फलन का फलन): dy/dx = (dy/du) × (du/dx)
प्राचल समीकरण: x = f(t), y = g(t) हो तो dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)
(क) y = x² sin x → y′ = 2x sin x + x² cos x।
(ख) y = (x² + 1) ÷ (x − 1) → y′ = [2x(x − 1) − (x² + 1)] ÷ (x − 1)² = (x² − 2x − 1) ÷ (x − 1)²।
(ग) y = (3x² + 1)⁵ → u = 3x² + 1; y′ = 5u⁴ × 6x = 30x(3x² + 1)⁴।
(घ) x = at², y = 2at → dx/dt = 2at, dy/dt = 2a, इसलिए dy/dx = 1/t।
लघुगणकीय अवकलन (टॉपिक 9)
जब चर घात में हो या कई गुणनफल हों, तब दोनों ओर log लेकर अवकलन करते हैं।
ln y = x ln x → (1/y)·y′ = ln x + 1 → y′ = xˣ (1 + ln x)।
इसी तरह y = xsin x के लिए ln y = sin x · ln x और y′ = xsin x [cos x · ln x + (sin x)/x]।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन (टॉपिक 10)
| फलन | अवकलज |
|---|---|
| sin⁻¹x | 1 ÷ √(1 − x²) |
| cos⁻¹x | −1 ÷ √(1 − x²) |
| tan⁻¹x | 1 ÷ (1 + x²) |
| cot⁻¹x | −1 ÷ (1 + x²) |
| sec⁻¹x | 1 ÷ (|x|·√(x² − 1)) |
| cosec⁻¹x | −1 ÷ (|x|·√(x² − 1)) |
उत्तरोत्तर अवकलन, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (टॉपिक 11, 2 लेक्चर)
उत्तरोत्तर अवकलन: y के अवकलज को फिर से अवकलित करना (y″ = d²y/dx²)। जैसे y = x⁴ → y″ = 12x²; y = e2x → yₙ = 2ⁿ e2x; y = sin x → y″ = −sin x।
f″(x) < 0 हो तो उच्चिष्ठ (Maxima); f″(x) > 0 हो तो निम्निष्ठ (Minima)।
dY/dN = 0.4 − 0.004N = 0 → N = 100 kg/हे.
d²Y/dN² = −0.004 < 0 → उच्चिष्ठ। अधिकतम उपज = 40 क्विंटल/हे. (ऊपर के f(100) से मेल खाता है)।
100 मीटर तार से आयताकार खेत घेरना है। एक भुजा x हो तो दूसरी (50 − x), क्षेत्रफल A = x(50 − x) = 50x − x²।
A′ = 50 − 2x = 0 → x = 25; A″ = −2 < 0 → उच्चिष्ठ। दोनों भुजाएँ 25 मीटर, यानी वर्ग, और अधिकतम क्षेत्रफल 625 वर्ग मीटर।
भाग 3: समाकलन (टॉपिक 12 से 16, कुल 8 लेक्चर)
समाकलन के सूत्र (टॉपिक 12)
| समाकल | परिणाम (+ C) |
|---|---|
| ∫ xⁿ dx | xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1), जहाँ n ≠ −1 |
| ∫ (1/x) dx | ln |x| |
| ∫ eˣ dx; ∫ aˣ dx | eˣ; aˣ ÷ ln a |
| ∫ sin x dx; ∫ cos x dx | −cos x; sin x |
| ∫ sec² x dx; ∫ cosec² x dx | tan x; −cot x |
| ∫ sec x tan x dx | sec x |
| ∫ 1 ÷ √(1 − x²) dx; ∫ 1 ÷ (1 + x²) dx | sin⁻¹x; tan⁻¹x |
प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (टॉपिक 13)
जब समाकल्य में एक फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तब उस फलन को u मानते हैं।
(क) ∫ 2x (x² + 1)³ dx: u = x² + 1, du = 2x dx → ∫ u³ du = u⁴/4 = (x² + 1)⁴ ÷ 4 + C।
(ख) ∫ e3x dx = e3x ÷ 3 + C।
(ग) ∫ cot x dx = ∫ cos x ÷ sin x dx = ln |sin x| + C।
सूत्र: ∫ f′(x) ÷ f(x) dx = ln |f(x)| + C।
खंडशः समाकलन (टॉपिक 14, 2 लेक्चर)
पहला फलन u चुनने का क्रम ILATE: Inverse trig, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential।
(क) ∫ x eˣ dx: u = x, v = eˣ → x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ (x − 1) + C।
(ख) ∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C।
(ग) ∫ ln x dx (u = ln x, v = 1) = x ln x − ∫ 1 dx = x ln x − x + C।
निश्चित समाकलन (टॉपिक 15)
गुण: ∫ab = −∫ba; ∫ab = ∫ac + ∫cb
खेत का उदाहरण: सिंचाई की बहाव दर r(t) = 2t + 4 लीटर/मिनट है। पहले 10 मिनट में कुल पानी = ∫010 (2t + 4) dt = [t² + 4t]₀¹⁰ = 100 + 40 = 140 लीटर।
वक्रों के नीचे क्षेत्रफल (टॉपिक 16, 2 लेक्चर)
वक्र y = f(x), x-अक्ष और रेखाओं x = a, x = b के बीच क्षेत्रफल A = ∫ab y dx। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र से निचले वक्र का अंतर लेकर निकालते हैं।
(क) y = x² के नीचे x = 0 से 3 तक क्षेत्रफल = [x³/3]₀³ = 9 वर्ग इकाई।
(ख) y = x और y = x² के बीच: प्रतिच्छेदन x = 0 और 1। A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 वर्ग इकाई।
(ग) नाली का अनुप्रस्थ काट (काल्पनिक इकाइयाँ): तल का आकार y = x² और जल-स्तर y = 4। क्षेत्रफल = ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3 ≈ 10.67 वर्ग इकाई।
भाग 4: आव्यूह और सारणिक (टॉपिक 17 से 20, कुल 7 लेक्चर)
आव्यूह का परिचय और योग (टॉपिक 17)
- आव्यूह (Matrix): संख्याओं की पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्था। m पंक्ति और n स्तंभ हों तो इसकी कोटि m × n है।
- आव्यूह का योग: केवल समान कोटि के आव्यूहों का, संगत अवयवों को जोड़कर।
- समानता: दो आव्यूह तब बराबर हैं जब उनकी कोटि समान हो और संगत अवयव बराबर हों।
- वर्ग आव्यूह: पंक्ति = स्तंभ। तत्समक आव्यूह (I): विकर्ण पर 1, बाकी 0; यह गुणन में 1 जैसा काम करता है (AI = IA = A)। शून्य आव्यूह (O): सभी अवयव 0।
घटाव, अदिश गुणन, आव्यूह गुणन और परिवर्त (टॉपिक 18, 2 लेक्चर)
- अदिश गुणन: k·A में हर अवयव को k से गुणा।
- आव्यूह गुणन: AB तभी बनता है जब A के स्तंभों की संख्या = B की पंक्तियों की संख्या। (AB) का अवयव = A की पंक्ति और B के स्तंभ का "पंक्ति × स्तंभ" योग।
- परिवर्त (Transpose): पंक्ति और स्तंभ की अदला-बदली। (AB)ᵀ = BᵀAᵀ।
AB = [[1·0 + 2·1, 1·1 + 2·0], [3·0 + 4·1, 3·1 + 4·0]] = [[2, 1], [4, 3]]
BA = [[0·1 + 1·3, 0·2 + 1·4], [1·1 + 0·3, 1·2 + 0·4]] = [[3, 4], [1, 2]]
इसलिए AB ≠ BA, यानी आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।
परिवर्त: [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]ᵀ = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]।
पोषक तत्व (%): यूरिया 46% N और 0% P₂O₅; DAP 18% N और 46% P₂O₅। प्लॉट 1 में 100 kg यूरिया और 50 kg DAP, प्लॉट 2 में 80 kg यूरिया और 60 kg DAP डाली गई।
Q = [[100, 50], [80, 60]] (मात्रा, kg) और A = [[0.46, 0], [0.18, 0.46]] (अंश)
QA = [[100(0.46) + 50(0.18), 50(0.46)], [80(0.46) + 60(0.18), 60(0.46)]] = [[55, 23], [47.6, 27.6]]
यानी प्लॉट 1 को 55 kg N और 23 kg P₂O₅, और प्लॉट 2 को 47.6 kg N और 27.6 kg P₂O₅ मिली।
सारणिक (टॉपिक 19)
3×3 (पहली पंक्ति से प्रसार): a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂)
सारणिक के उपयोगी गुण: दो पंक्तियाँ (या स्तंभ) बराबर हों तो मान 0; पंक्तियों की अदला-बदली से चिह्न बदलता है; किसी पंक्ति से एक सामान्य गुणनखंड बाहर निकाला जा सकता है; |Aᵀ| = |A|।
आव्यूह का व्युत्क्रम, तीसरी कोटि तक (टॉपिक 20, 2 लेक्चर)
2×2 के लिए: A = [[a, b], [c, d]] का व्युत्क्रम = (1 ÷ (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]]
3×3 के लिए: adj(A) = सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (Cofactors का transpose)
जाँच: A·A⁻¹ = [[6 − 5, −2 + 2], [15 − 15, −5 + 6]] = [[1, 0], [0, 1]] = I ✓।
उपयोग: समीकरणों 2x + y = 8 और 5x + 3y = 21 के लिए AX = B, इसलिए X = A⁻¹B = [[3, −1], [−5, 2]] × [8, 21]ᵀ = [24 − 21, −40 + 42]ᵀ = [3, 2]ᵀ, यानी x = 3 और y = 2।
सहखंडों से adj(A) = [[−24, 18, 5], [20, −15, −4], [−5, 4, 1]]।
इसलिए A⁻¹ = [[−24, 18, 5], [20, −15, −4], [−5, 4, 1]] (क्योंकि |A| = 1)।
जाँच (पहली पंक्ति × पहला स्तंभ): 1(−24) + 2(20) + 3(−5) = 1 ✓।
सूत्र पत्रक (Formula Card)
| विषय | सूत्र |
|---|---|
| अवकलज | (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹; (eˣ)′ = eˣ; (ln x)′ = 1/x; (aˣ)′ = aˣ ln a; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x; (tan x)′ = sec² x |
| नियम | गुणन: u′v + uv′; भागफल: (u′v − uv′)/v²; श्रृंखला: dy/du × du/dx |
| अधिकतम-न्यूनतम | f′ = 0; f″ < 0 उच्चिष्ठ; f″ > 0 निम्निष्ठ |
| समाकलन | ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n + 1); ∫ u v = u∫v − ∫(u′∫v); क्षेत्रफल = ∫ y dx |
| आव्यूह | AB ≠ BA; (AB)ᵀ = BᵀAᵀ; A⁻¹ = adj A ÷ |A| |
सोचिए और हल कीजिए
प्रश्न 1: limx→3 (x² − 9) ÷ (x − 3) = ? उत्तर: 6
प्रश्न 2: y = x³ ln x का अवकलज? उत्तर: 3x² ln x + x²
प्रश्न 3: ∫ (4x³ − 6x + 1) dx = ? उत्तर: x⁴ − 3x² + x + C
प्रश्न 4: ∫₀³ 2x dx = ? उत्तर: [x²]₀³ = 9
प्रश्न 5: A = [[3, 1], [2, 1]] का व्युत्क्रम? उत्तर: |A| = 1; A⁻¹ = [[1, −1], [−2, 3]]
प्रश्न 6: f(x) = x³ − 3x का निम्निष्ठ किस बिंदु पर है? उत्तर: f′ = 3x² − 3 = 0 → x = ±1; f″ = 6x; x = 1 पर f″ = 6 > 0, यानी निम्निष्ठ x = 1 पर
जल्दी दोहराने के बिंदु (Quick Revision)
- सांतत्य: LHL = RHL = f(a)।
- lim sin x/x = 1; lim (1 + 1/n)ⁿ = e।
- f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h।
- log-अवकलन: घात में चर हो तो दोनों ओर ln लें।
- उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ: f′ = 0 फिर f″ का चिह्न देखें।
- खंडशः समाकलन में ILATE से u चुनें।
- AB तभी बनता है जब A के स्तंभ = B की पंक्तियाँ; व्युत्क्रम तभी जब |A| ≠ 0।
महत्वपूर्ण प्रश्न (MCQ)
Q1. limx→0 (sin x) ÷ x का मान है: (अ) 0 (ब) 1 (स) ∞ (द) −1। उत्तर: ब
Q2. d/dx (eˣ) = ? (अ) x eˣ⁻¹ (ब) eˣ (स) e (द) 1/eˣ। उत्तर: ब
Q3. ∫ (1/x) dx = ? (अ) x² (ब) ln |x| + C (स) 1/x² (द) eˣ। उत्तर: ब
Q4. y = xˣ का अवकलज क्या है? (अ) x·xˣ⁻¹ (ब) xˣ(1 + ln x) (स) xˣ ln x (द) xˣ। उत्तर: ब
Q5. यदि A एक 2×3 और B एक 3×4 आव्यूह है, तो AB की कोटि है: (अ) 2×4 (ब) 3×3 (स) 4×2 (द) परिभाषित नहीं। उत्तर: अ
Q6. आव्यूह A का व्युत्क्रम तभी होता है जब: (अ) |A| = 0 (ब) |A| ≠ 0 (स) A शून्य आव्यूह हो (द) A का परिवर्त शून्य हो। उत्तर: ब
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
प्रश्न: इस विषय में कितने टॉपिक और लेक्चर हैं?
उत्तर: सिलेबस चित्र में दिखे अनुसार 20 टॉपिक और कुल 32 थ्योरी लेक्चर।
प्रश्न: कृषि के छात्र को गणित क्यों पढ़ना चाहिए?
उत्तर: उपज अनुक्रिया, इष्टतम उर्वरक मात्रा, वृद्धि मॉडल, जल बहाव और सांख्यिकी जैसे विषय इसी पर टिके हैं।
प्रश्न: अवकलन और समाकलन में क्या संबंध है?
उत्तर: समाकलन अवकलन की उलटी क्रिया है। निश्चित समाकलन दर से कुल मात्रा निकालता है।
प्रश्न: आव्यूह गुणन में क्रम क्यों मायने रखता है?
उत्तर: क्योंकि AB और BA अलग हो सकते हैं (उदाहरण 12 देखिए), और कभी-कभी एक ही बन पाता है।
प्रश्न: सारणिक का मान 0 आए तो क्या होगा?
उत्तर: आव्यूह का व्युत्क्रम नहीं बनेगा।
प्रश्न: परीक्षा की तैयारी कैसे करें?
उत्तर: हर टॉपिक के 5 से 10 सवाल खुद हल करें, क्योंकि गणित में अभ्यास ही मुख्य तैयारी है।
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आगे पढ़ने के लिए
NCERT की कक्षा 11 और 12 की गणित की पाठ्यपुस्तकें (फलन, सीमा, अवकलन, समाकलन और आव्यूह के अध्याय); विश्वविद्यालय की निर्धारित पुस्तक; और ICAR e-course।
लेखक की टिप्पणी: यह लेख सिलेबस के आधार पर मौलिक रूप से तैयार किया गया है। खेत के उदाहरण (उपज का फलन, नाली का काट, उर्वरक की मात्राएँ) अभ्यास हेतु काल्पनिक हैं। सभी हल सहित उदाहरणों की जाँच कर ली गई है, फिर भी परीक्षा में अपनी पाठ्यपुस्तक की विधि के अनुसार लिखें।